考研数学公式速记：常用公式汇总

在考研数学的考研复习过程中，掌握常用的数学速记数学公式是至关重要的。这些公式不仅能够帮助我们快速解题，公式公式还能在考试中节省宝贵的常用时间。本文将为大家汇总一些考研数学中常用的汇总公式，并附上简单的考研解释和应用示例，帮助大家更好地记忆和应用这些公式。数学速记

一、公式公式极限与连续

1. 极限的常用基本性质：

• $\lim_{ x \to a} [f(x) \pm g(x)] = \lim_{ x \to a} f(x) \pm \lim_{ x \to a} g(x)$
• $\lim_{ x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = \lim_{ x \to a} f(x) \cdot \lim_{ x \to a} g(x)$
• $\lim_{ x \to a} \frac{ f(x)}{ g(x)} = \frac{ \lim_{ x \to a} f(x)}{ \lim_{ x \to a} g(x)}$ （前提是$\lim_{ x \to a} g(x) \neq 0$）

2. 常用极限公式：

• $\lim_{ x \to 0} \frac{ \sin x}{ x} = 1$
• $\lim_{ x \to \infty} \left(1 + \frac{ 1}{ x}\right)^x = e$
• $\lim_{ x \to 0} (1 + x)^{ \frac{ 1}{ x}} = e$

二、导数与微分

1. 导数的汇总基本公式：

• $(c)' = 0$ （$c$为常数）
• $(x^n)' = n x^{ n-1}$
• $(\sin x)' = \cos x$
• $(\cos x)' = -\sin x$
• $(\tan x)' = \sec^2 x$
• $(\ln x)' = \frac{ 1}{ x}$
• $(e^x)' = e^x$

2. 导数的四则运算：

• $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$
• $\left(\frac{ u}{ v}\right)' = \frac{ u' \cdot v - u \cdot v'}{ v^2}$

3. 高阶导数：

• $(f^{ (n)})' = f^{ (n+1)}$
• 莱布尼茨公式：$(u \cdot v)^{ (n)} = \sum_{ k=0}^{ n} C_n^k u^{ (k)} v^{ (n-k)}$

三、积分

1. 基本积分公式：

• $\int x^n dx = \frac{ x^{ n+1}}{ n+1} + C$ （$n \neq -1$）
• $\int \frac{ 1}{ x} dx = \ln |x| + C$
• $\int e^x dx = e^x + C$
• $\int \sin x dx = -\cos x + C$
• $\int \cos x dx = \sin x + C$
• $\int \sec^2 x dx = \tan x + C$

2. 积分的考研换元法：

• $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$ （$u = g(x)$）

3. 分部积分法：

• $\int u dv = uv - \int v du$

四、微分方程

1. 一阶线性微分方程：

• $\frac{ dy}{ dx} + P(x) y = Q(x)$
• 通解：$y = e^{ -\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{ \int P(x) dx} dx + C \right)$

2. 二阶常系数齐次线性微分方程：

• $y'' + p y' + q y = 0$
• 特征方程：$r^2 + p r + q = 0$
• 根据特征根的数学速记不同情况，通解形式不同。公式公式

五、常用级数

1. 幂级数：

• $\sum_{ n=0}^{ \infty} a_n x^n$
• 收敛半径：$R = \lim_{ n \to \infty} \left| \frac{ a_n}{ a_{ n+1}} \right|$

2. 泰勒级数：

• $f(x) = \sum_{ n=0}^{ \infty} \frac{ f^{ (n)}(a)}{ n!} (x - a)^n$

六、汇总多元函数微分学

1. 偏导数：

• $\frac{ \partial f}{ \partial x} = \lim_{ \Delta x \to 0} \frac{ f(x + \Delta x, y) - f(x, y)}{ \Delta x}$
• $\frac{ \partial f}{ \partial y} = \lim_{ \Delta y \to 0} \frac{ f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{ \Delta y}$

2. 全微分：

• $df = \frac{ \partial f}{ \partial x} dx + \frac{ \partial f}{ \partial y} dy$

七、重积分

1. 二重积分：

• $\iint_D f(x, y) dx dy$
• 极坐标下的二重积分：$\iint_D f(r \cos \theta, r \sin \theta) r dr d\theta$

2. 三重积分：

• $\iiint_\Omega f(x, y, z) dx dy dz$
• 柱坐标下的三重积分：$\iiint_\Omega f(r \cos \theta, r \sin \theta, z) r dr d\theta dz$

八、曲线积分与曲面积分

1. 曲线积分：

• 第一类曲线积分：$\int_L f(x, y) ds$
• 第二类曲线积分：$\int_L P dx + Q dy$

2. 曲面积分：

• 第一类曲面积分：$\iint_\Sigma f(x, y, z) dS$
• 第二类曲面积分：$\iint_\Sigma P dy dz + Q dz dx + R dx dy$

九、向量代数与空间解析几何

1. 向量的基本运算：

• 向量的加法：$\vec{ a} + \vec{ b} = (a_x + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z)$
• 向量的点积：$\vec{ a} \cdot \vec{ b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$
• 向量的叉积：$\vec{ a} \times \vec{ b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

2. 空间直线与平面的方程：

• 空间直线的参数方程：$\vec{ r} = \vec{ r}_0 + t \vec{ v}$
• 平面的一般方程：$A x + B y + C z + D = 0$

十、概率论与数理统计

1. 概率的基本公式：

• 条件概率：$P(A|B) = \frac{ P(A \cap B)}{ P(B)}$
• 全概率公式：$P(A) = \sum_{ i=1}^{ n} P(A|B_i) P(B_i)$
• 贝叶斯公式：$P(B_i|A) = \frac{ P(A|B_i) P(B_i)}{ \sum_{ j=1}^{ n} P(A|B_j) P(B_j)}$

2. 随机变量的分布：

• 离散型随机变量的期望：$E(X) = \sum_{ i} x_i p_i$
• 连续型随机变量的期望：$E(X) = \int_{ -\infty}^{ \infty} x f(x) dx$
• 方差：$D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$

以上是考研数学中常用的一些公式汇总。希望这些公式能够帮助大家在复习过程中更加高效地掌握数学知识，顺利通过考研数学的考试。祝大家复习顺利，考试成功！